Уравнение \(M(x,y) \ dx +N(x,y) \ dy = 0\) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции \(F(x,y)\).
Соответственно, уравнение может быть записано в виде:
\[dF(x,y)=0.\]
Это возможно, если \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\).
Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, нужно найти функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) равен левой части уравнения. То есть такую, для которой \(M(x,y)=F'_x\) и \(N(x,y)=F'_y\).
Тогда общее решение уравнения можно написать в виде \(F(x,y)=C\), где \(C\) это произвольная постоянная.
Пример 1. Рассмотрим уравнение \((2x+3x^2y) \ dx+(x^3-3y^2) \ dy=0\).
Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.
\[M(x,y) =2x+3x^2y, \ N(x,y)=x^3-3y^2\]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+3x^2y)=3x^2\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^3-3y^2)=3x^2\]
Получаем \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\), следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию \(F(x,y)\), полный дифференциал которой \(dF(x,y) = F'_x \ dx + F'_y \ dy\) был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию \(F(x,y)\), что:
\[F'_x=2x+3x^2y, \ F'_y=x^3-3y^2\]
Интегрируем \(F'_x\) по \(x\), считая \(y\) постоянным:
\[F=\int (2x+3x^2y) \ dx=x^2+x^3y+f(y)\]
Где \(f(y)\) — неизвестная функция от \(y\).
Дифференцируем полученное выражение для \(F\) по \(y\) :
\[F'_y=\left( x^2+x^3y+f(y)\right)'_y=x^3+f'(y)\]
Так как \(F'_y=x^3-3y^2\), получаем:
\[x^3+f'(y)=x^3-3y^2\]
\[f'(y)=-3y^2\]
\[f(y)=-y^3+const\]
Получаем \(F(x,y)=x^2+x^3y-y^3\), и общее решение исходного уравнения имеет вид:
\[x^2+x^3y-y^3=C.\]
Уравнения приводимые к уравнению в полных дифференциалах
Интегрирующий множитель
Интегрирующим множителем для уравнения \(M(x,y) \ dx +N(x,y) \ dy = 0\) называется такая функция \(m(x,y)\), после умножения на которую уравнение преобразуется в уравнение в полных дифференциалах.
Если функции \(M(x,y)\) и \(N(x,y)\) имеют непрерывные частные производные и не обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако нет общего метода для его отыскания.
Для решения некоторых уравнений можно применять метод выделения полных дифференциалов, используя известные формулы:
\[d(xy)=y \ dx+x\ dy, \ d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{y\ dx-x\ dy}{y^2}, \ d(\ln y)=\frac{dy}{y}\]
И прочие формулы.
Пример 2. Рассмотрим уравнение \(y\ dx-(4x^2y+x)\ dy=0\).
Сначала выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как \(y\ dx-x\ dy=-x^2d(y/x)\), то, разделив уравнение на \(-x^2\) (\(x = 0\) является решением), получим:
\[d \left(\frac{y}{x}\right)+4y \ dy=0\]
\[d \left(\frac{y}{x}\right)+ d(2y^2)=0\]
\[d \left(\frac{y}{x}+ 2y^2\right)=0\]
Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Соответственно, получаем решение этого уравнения:
\[\frac{y}{x}+ 2y^2=C; x=0.\]
В данном случае интегрирующим множителем является функция \(m(x,y)=-\dfrac{1}{x^2}\).
Замена переменных
Если в уравнении \(M(x,y) \ dx +N(x,y) \ dy = 0\) можно выделить полный дифференциал некоторой функции \(\varphi(x,y) \), то иногда уравнение упрощается, если от переменных \((x, y) \) перейти к переменным \((x, z)\) или \((y, z)\), где \(z = \varphi(x,y)\) .
Пример 3. Рассмотрим уравнение \(y \ dx - (x^3y+x) \ dy=0\).
Сначала выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как \(y\ dx-x\ dy=-x^2d(y/x)\), то, разделив уравнение на \(-x^2\), получим:
\[d \left(\frac{y}{x}\right)+xy \ dy=0\]
Перейдя к переменным \(z = y/x\) и \(y\), получим уравнение, которое легко можно решить:
\[dz+\frac{y^2}{z}dy=0.\]
Пример 4. Рассмотрим уравнение \((xy+y^4)\ dx+(x^2-xy^3)\ dy = 0\).
Сгруппируем члены так, чтобы выделить полные дифференциалы:
\[x(y \ dx+x \ dy)+y^3(y \ dx-x \ dy)=0\]
\[x\ d(xy)+y^5\ d\left(\frac{x}{y}\right)=0\]
Перейдя к переменным \(u=xy\) и \(v=x/y\), получим уравнение, которое легко можно решить:
\[du+\frac{u^2}{v^3}dv=0.\]