Найти атмосферное давление на высоте \(h\), если на поверхности земли давление равно \(1 \ кГ/см^2\) и плотность воздуха \(0,0012 \ г/см^3\). Использовать закон Бойля—Мариотта, в силу которого плотность пропорциональна давлению (т. е. пренебречь изменением температуры воздуха с высотой).
Решение
Для начала разберемся с единицами измерения. В условии давление задано в \(кГ/см^2,\) где кГ — это килограмм-сила. Килограмм-сила равна силе, сообщающей телу массой один килограмм ускорение равное нормальному ускорению свободного падения \(9,80665 \ м/с^2.\)
Так как ускорение свободного падения \(g=9,8 \ м/c^2\) уже учтено в единицах измерения, то далее можно его можно не учитывать, или учитывать и считать равным единице:
\[g=9,8 \ м/c^2 = 1\frac{Г}{г}\]
Так как плотность пропорциональна давлению, то есть \(\rho=kp\), то:
\[0,0012г/см^3=k \ 1000 Г/см^2\]
где \(k\) - коэффициент пропорциональности.
Получаем: \(k=0,0000012\).
Перейдем к решению задачи. Пусть \(p(x)\) это атмосферное давление на высоте \(x.\) Тогда разность давлений \(p(x)-p(x+\Delta x)\) равна весу столбика воздуха с площадью основания \(1 см^2\) и высотой \(\Delta x.\)
\[p(x)-p(x+\Delta x)= g \rho(x) \Delta x,\]
где \(\rho(x)\) - плотность воздуха на высоте \(x,\) \(g\) - ускорение свободного падения.
Так как плотность пропорциональна давлению, то:
\[p(x)-p(x+\Delta x)=k g p(x) \Delta x,\]
где \(k\) - коэффициент пропорциональности.
Предельным переходом при \(\Delta x \to 0\), получаем дифференциальное уравнение:
\[\frac{dp}{dx}=-kgp\]
Или:
\[\frac{1}{p}dp=-kgdx\]
Интегрируя, получим:
\[p=Ce^{-kgx}\]
Так как из начальных условий, на поверхности земли при \(x=0\) давление \(p=1 кГ/см^2\), то \(C=1\). Получаем:
\[p=e^{-kgx}\]
Подставив значение коэффициента \(k\) получим:
\[p=e^{-0,0000012 x}\]
Таким образом, атмосферное давление на высоте \(h \ см\) равно:
\[p=e^{-0,0000012 h}\]
На высоте \(h \ м\):
\[p=e^{-0,00012 h}\]
На высоте \(h \ км\):
\[p=e^{-0,12 h} \ кГ/см^2\]