Однородные дифференциальные уравнения могут быть записаны в виде:
\[y' = f(\frac{y}{x}).\]
Или в виде:
\[M(x, y) \ dx + N(x, y) \ dy = 0,\]
где \(M(x, y)\) и \(N(x, y)\) — однородные функции одной и той же степени (функция \(M(x, y)\) называется однородной функцией степени \(n\), если \(M(kx, ky)= k^nM(x, y)\) для всех \(k > 0\)).
1. Чтобы решить однородное уравнение, необходимо сделать замену \(y = tx\). После проведенного преобразования, получается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 1. Рассмотрим в качестве примера следующее уравнение:
\[\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x}.\]
Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением, так как может быть записано в виде:
\[\frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x}.\]
Произведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dy}{dx}=t\frac{dx}{dx}+x\frac{dt}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[\frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x} \ \Rightarrow \ t+x\frac{dt}{dx}=1+t\]
Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
\[\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\]
Разделив и проинтегрировав, получим решение:
\[t=\ln |x|+C\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[t=\ln |x|+C \ \Rightarrow \ \frac{y}{x}=\ln |x|+C \ \Rightarrow \ y=x\ln |x|+Cx.\]
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения: \(y=x\ln |x|+Cx\).
Рассмотрим еще один, менее очевидный, пример:
Пример 2.
\[\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+3y^2}{2xy}.\]
Преобразуем дробь в правой части:
\[\frac{x^2+3y^2}{2xy}=\frac{1+3\frac{y^2}{x^2}}{2\frac{y}{x}}=\frac{1+3\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2}{2\frac{y}{x}}\]
Получаем однородное уравнение:
\[\frac{dy}{dx}=\frac{1+3\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2}{2\frac{y}{x}}.\]
Произведем замену \(y = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=\frac{1+3t^2}{2t}\]
Преобразуем уравнение:
\[2t^2+2xt\frac{dt}{dx}=1+3t^2\]
\[2xt\frac{dt}{dx}=1+t^2\]
\[x\frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}{2t}\]
Мы получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{2t}{1+t^2}dt=\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{2t}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{x}dx\]
\[\int \frac{2t}{1+t^2}dt=\int \frac{1}{1+t^2}d(1+t^2)=\ln(1+t^2)+C\]
Получаем:
\[\ln(1+t^2)=\ln|x|+\ln|C|\]
\[\ln(1+t^2)=\ln|Cx|\]
\[1+t^2=Cx\]
Произведем обратную замену. Так как \(y = tx\):
\[1+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2=Cx\]
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения: \(1+\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2=Cx\).
2. Уравнение вида \(y'=f\Bigl(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\Bigr)\) можно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых \(a_2x+b_2y+c_2 = 0\) и \(a_1x+b_1y+c_1=0\). Если же эти прямые не пересекаются, то есть \(a_1x+b_1y = k(a_2x+b_2y)\), тогда уравнение имеет вид \(y' = F(ax + by)\) и приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой \(z = ax + by\) (или \(z = ax + by + c\)).
Пример 3. Решить уравнение \(x-y-1 +(y-x+2) y'=0\).
Преобразуем уравнение.
\[y'=\frac{x-y-1}{x-y-2}\]
Приведем уравнение к однородному виду. Поскольку прямые \(x-y-1= 0\) и \(x-y-2=0\) не пересекаются, уравнение невозможно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых. Поэтому введем замену: \(z=x-y-2\).
Найдем производную:
\[z'=1-y' \ \Rightarrow \ y'=1-z'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[1-z'=\frac{z+1}{z}\]
\[z'=-\frac{1}{z}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[zdz=-dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int zdz=-\int dx\]
\[\frac{z^2}{2}=-x+C\]
\[\frac{(x-y-2)^2}{2}=-x+C\]
\[\frac{(x-y-2)^2}{2}+x=C\]
При делении могло быть потеряно решение \(z=0 \ (x-y-2=0)\). Очевидно, \(x-y-2=0\) не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\frac{(x-y-2)^2}{2}+x=C.\]
3. Некоторые уравнения можно привести к однородному виду, воспользовавшись заменой \(y=z^m\). Число \(m\) обычно заранее не известно. Чтобы его найти, надо произвести замену \(y=z^m\). Применив требование однородности к полученному уравнению, можно найти \(m\), если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному этим способом.
Пример 4. Решить уравнение \(2y+(x^2y+1)xy'=0\).
Уравнение не является однородным.
Проведем замену \(y=z^m\):
Найдем производную:
\[y'=mz^{m-1}z'\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[2z^m+(x^2z^m+1)xmz^{m-1}z'=0\]
Это уравнение будет однородным, если \(m=2+m+1+m-1=1+m-1\). То есть при \(m=-2\). Получаем \(y=\dfrac{1}{z^2}\):
\[2\dfrac{1}{z^2}-2(x^2\dfrac{1}{z^2}+1)x\dfrac{1}{z^3}z'=0\]
Преобразовав, получим однородное уравнение:
\[z'=\frac{\dfrac{z^3}{x^3} }{1+\dfrac{z^2}{x^2}}\]
Проведем замену \(z = tx\):
Найдем производную:
\[\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}\]
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
\[t+x\frac{dt}{dx}=\frac{t^3}{1+t^2}\]
Или:
\[x\frac{dt}{dx}=-\frac{t}{1+t^2}\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
\[\frac{1+t^2}{t} dt=-\frac{1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int\frac{1+t^2}{t} dt=-\int\frac{1}{x}dx\]
\[\ln|t|+\frac{t^2}{2}+\ln C=-\ln |x|\]
Произведем обратную замену. Так как \(z = tx\), получаем:
\[\ln|\frac{z}{x}|+\frac{z^2}{2x^2}+\ln C=-\ln |x|\]
Произведем обратную замену. Так как \(y=\dfrac{1}{z^2}\), получаем:
\[\ln|\frac{1}{x\sqrt{y}}|+\frac{1}{2yx^2}+\ln C=-\ln |x|\]
\[2\ln\frac{Cx\sqrt{y}}{x}=\frac{1}{yx^2}\]
\[\ln Cy=\frac{1}{yx^2}\]
\[yx^2\ln Cy=1\]
При вводе замены \(y=\dfrac{1}{z^2}\) могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[yx^2\ln Cy=1; \ y=0.\]