Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная \(a^2\).
Решение
Схематично изобразим треугольник:
\(A\) - точка касания; \(OAB\) - треугольник, ограниченный касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, \(AC\) - высота треугольника \(OAB\).
Площадь треугольника \(OAB\) (произведение половины основания треугольника на его высоту):
\[S=\frac{|AC||OB|}{2}\]
Поскольку \(|AC|=y\), осталось найти \(|OB|\).
Уравнение касательной в точке \(A\): \(y=y_A+y'_A(x-x_A)\)
Поскольку касательная проходит через точку \(B\), получаем:
\[y_B=y_A+y'_A(x_B-x_A)\]
Соответственно, так как \(y_B=0\) и точка \(A\) имеет координаты \((x,y)\), получаем:
\[|OB|=x_B=\frac{y'x-y}{y'} \]
Таким образом:
\[S=\frac{|AC||OB|}{2}=\frac{(y'x-y)y}{2y'}=\frac{yx}{2}-\frac{y^2}{2y'}\]
Так как по условию площадь треугольника равна \(a^2\), получаем уравнение семейства кривых:
\[\frac{yx}{2}-\frac{y^2}{2y'}=a^2\]
\[yx-\frac{y^2}{y'}=2a^2\]
Уравнение не является линейным относительно переменной \(y\), но оно линейно относительно \(x\). Преобразуем уравнение, считая \(x\) функцией от \(y\):
\[y^2x'-yx=-2a^2\]
\[x'-\frac{x}{y}=-\frac{2a^2}{y^2}\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[x'-\frac{x}{y}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int\frac{dx}{x}=\int\frac{dy}{y}\]
\[\ln|x|=\ln|y|+\ln C\]
\[x=Cy\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(x=Cy\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(y\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(x'=C'y+C\), то:
\[C'y+C-\frac{Cy}{y}=-\frac{2a^2}{y^2}\]
\[C'y=-\frac{2a^2}{y^2}\]
\[C'=-\frac{2a^2}{y^3}\]
\[C=-\int \frac{2a^2}{y^3}dy=\frac{a^2}{y^2}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[x=Cy=\left(\frac{a^2}{y^2}+C_1\right)y=C_1y+\frac{a^2}{y}\]
Таким образом, уравнение семейства кривых, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная \(a^2\):
\[x=C_1y+\frac{a^2}{y}.\]