Резиновый шнур длиной в \(1 \ м\) под действием силы \(f \ кГ\) удлиняется на \(kf\) метров. На сколько удлинится такой же шнур длины \(l\) и веса \(P\) под действием своего веса, если его подвесить за один конец?
Решение
Пусть \(y(x)\) это удлинение шнура длиной \(x,\) \(y(x+\Delta x)\) это удлинение шнура длиной \(x+\Delta x\). Тогда удлинение элемента длиной \(\Delta x\) равно разности \(y(x+\Delta x)-y(x)\).
На элемент шнура \(\Delta x\) действует растягивающая сила \(f\), равная весу элемента \(x\):
\[f=\frac{P}{l}x,\]
где \(\frac{P}{l}\) - удельный вес шнура.
Так как шнур длиной в \(1 \ м\) под действием силы \(f \ кГ\) удлиняется на \(kf\) метров, то удлинение элемента \(\Delta x\) составляет:
\[kf\Delta x=\frac{kP}{l}x\Delta x\]
Таким образом, получаем:
\[y(x+\Delta x)-y(x)=\frac{kP}{l}x\Delta x\]
Разделив на \(\Delta x\), совершив предельный переход при \(\Delta x \to 0,\) получим:
\[\frac{dy}{dx}=\frac{kP}{l}x\]
Интегрируя, получим:
\[y=\frac{kP}{2l}x^2+C.\]
Поскольку \(y(0)=0\), то \(C=0\).
Подставив \(x=l\), получим:
\[y(l)=\frac{kPl}{2}.\]
Таким образом, шнур длины \(l\) и веса \(P\) под действием своего веса удлинится на \(kPl/2\).