Задача 96. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Резиновый шнур длиной в $1м$ под действием силы $fкГ$ удлиняется на $kf$ метров. На сколько удлинится такой же шнур длины $l$ и веса $P$ под действием своего веса, если его подвесить за один конец?

Решение
Пусть $y(x)$ это удлинение шнура длиной $x,$ $y(x+\mathrm{\Delta }x)$ это удлинение шнура длиной $x+\mathrm{\Delta }x$. Тогда удлинение элемента длиной $\mathrm{\Delta }x$ равно разности $y(x+\mathrm{\Delta }x)-y(x)$.

На элемент шнура $\mathrm{\Delta }x$ действует растягивающая сила $f$, равная весу элемента $x$:
$$f=\frac{P}{l}x,$$
где $\frac{P}{l}$ - удельный вес шнура.
Так как шнур длиной в $1м$ под действием силы $fкГ$ удлиняется на $kf$ метров, то удлинение элемента $\mathrm{\Delta }x$ составляет:
$$kf\mathrm{\Delta }x=\frac{kP}{l}x\mathrm{\Delta }x$$
Таким образом, получаем:
$$y(x+\mathrm{\Delta }x)-y(x)=\frac{kP}{l}x\mathrm{\Delta }x$$
Разделив на $\mathrm{\Delta }x$, совершив предельный переход при $\mathrm{\Delta }x\to 0,$ получим:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{kP}{l}x$$
Интегрируя, получим:
$$y=\frac{kP}{2l}{x}^2+C.$$
Поскольку $y(0)=0$, то $C=0$.
Подставив $x=l$, получим:
$$y(l)=\frac{kPl}{2}.$$
Таким образом, шнур длины $l$ и веса $P$ под действием своего веса удлинится на $kPl/2$.