Задача 71. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная $a^2$.

Решение
Схематично построим треугольник в двух вариантах (для положительной и отрицательной $y^{\prime }$):

Рассмотрим вначале $y^{\prime }>0$. Площадь прямоугольного треугольника:
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot BC$$
Выразим $AB$ через $BC$: $BC=AB\cdot \tan \alpha$.
$$AB=\frac{BC}{\tan \alpha }$$
Так как $BC=y$ и $\tan \alpha =y^{\prime }$ получаем:
$$S=\frac{y^2}{2y^{\prime }}$$
Подставив начальное условие на площадь, получим дифференциальное уравнение:
$$2y^{\prime }{a}^2=y^2.$$
Найдем решение. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{2a^2}{y^2}dy=dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$-\frac{2a^2}{y}=x+C$$
$$y=-\frac{2a^2}{x+C}$$
Таким образом, уравнения семейства кривых для $y^{\prime }>0$ имеет вид:
$$y=-\frac{2a^2}{x+C}$$

Если $y^{\prime }<0$, то $BC=AB\cdot \tan ({180}^o-\alpha )=-AB\cdot \tan \alpha$. Соответственно:
$$S=-\frac{y^2}{2y^{\prime }}$$
Дифференциальное уравнение имеет вид:
$$2y^{\prime }{a}^2=-y^2.$$
Разделяя переменные и интегрируя получим решение:
$$y=-\frac{2a^2}{-x+C}$$
Таким образом, уравнения семейства кривых для $y^{\prime }<0$ имеет вид:
$$y=-\frac{2a^2}{-x+C}$$
Объединяя, получим уравнение кривых:
$$y=-\frac{2a^2}{\pm x+C}.$$