Задача 60. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение и построить несколько интегральных кривых: $z^{\prime }={10}^{x+z}$.

Решение
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$z^{\prime }={10}^x{10}^z$$
$${10}^{-z}dz={10}^{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int {10}^{-z}dz=\int {10}^{x}dx$$
$$\int {10}^{-z}dz=-\frac{{10}^{-z}}{\ln 10}+C$$
$$\int {10}^{x}dx=\frac{{10}^x}{\ln 10}+C$$
Получаем:
$$-{10}^{-z}+C={10}^x$$
$${10}^{-z}=C-{10}^x$$
$$z=-{\log }_{10}(C-{10}^x)$$
Таким образом, решение уравнения: $z=-{\log }_{10}(C-{10}^x)$.

Интегральные кривые: