Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(y=kx\), \(\varphi=60^o\).
Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[y'=k\]
Выразим \(k\) и подставим в исходное уравнение:
\[k=y' \ \Rightarrow \ y=y'x \ \Rightarrow \ y'=\frac{y}{x}\]
1. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
\[\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi\]
\[\frac{y_1'-\dfrac{y}{x}}{1+\dfrac{y}{x}y_1'}=\sqrt{3}\]
\[\frac{y_1'-\dfrac{y}{x}}{1+\dfrac{y}{x}y_1'}=\sqrt{3}\]
\[xy_1'-y=\sqrt{3}(x+yy_1')\]
\[y_1'(x-\sqrt{3}y)=\sqrt{3}x+y\]
\[y_1'= \frac{\sqrt{3}x+y}{(x-\sqrt{3}y)}\]
2. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
\[\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi\]
\[\frac{\dfrac{y}{x}-y_1'}{1+\dfrac{y}{x}y_1'}=\sqrt{3}\]
\[y-xy_1' =\sqrt{3}(x+yy_1')\]
\[y_2'(\sqrt{3}y+x) =y-\sqrt{3}x\]
\[y_2' =\frac{y-\sqrt{3}x}{\sqrt{3}y+x}\]
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=60^o\) имеют вид:
\[y'= \frac{\sqrt{3}x+y}{(x-\sqrt{3}y)}; \ y' =\frac{y-\sqrt{3}x}{\sqrt{3}y+x}.\]