Задача 39. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $x^2=y+Cx$, $\phi ={90}^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение.
Выразим $C$:
$$C=\frac{x^2-y}{x}$$
Продифференцируем уравнение:
$$2x=y^{\prime }+C\Rightarrow y^{\prime }=2x-C$$
Подставим параметр $C$:
$$y^{\prime }=2x-C=2x-\frac{x^2-y}{x}=\frac{x^2+y}{x}$$
Для кривых пересекающих данное семейство под углом $\phi ={90}^o$ (кривые перпендикулярны) производная равна $-1/y^{\prime }$, соответственно уравнение будет иметь вид:
$$y^{\prime }=-\frac{x}{x^2+y}.$$