Задача 221. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Построить последовательные приближения $y_0$, $y_1$, $y_2$ к решению данного уравнения с данными начальными условиями:
a) $y^{\prime }=x-y^2$, $y(0)=0$
б) $y^{\prime }=y^2+3x^2-1$, $y(1)=1$
в) $y^{\prime }=y+{\mathrm{e}}^{y-1}$, $y(0)=1$
г) $y^{\prime }=1+x\sin y$, $y(\pi )=2\pi$

Решение
Воспользуемся формулой:
$$y_0(x)=y_0,y_k(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(s,y_{k-1}(s))\mathrm{d}s,k\in Z_0$$

a) $y^{\prime }=x-y^2$, $y(0)=0$
$$y_0(x)=0$$
$$y_k(x)=y_0+{\int }_0^x(s-y_{k-1}^2(s))\mathrm{d}s,k\in Z_0$$
Для $k=1$, получаем:
$$y_1(x)=y_0+{\int }_0^x(s-y_0^2(s))\mathrm{d}s={\int }_0^{x}s\mathrm{d}s=\frac{x^2}{2}$$
Для $k=2$, получаем:
$$y_2(x)=y_0+{\int }_0^x(s-y_1^2(s))\mathrm{d}s={\int }_0^x(s-\frac{s^4}{4})\mathrm{d}s=\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{20}$$
Таким образом, получаем последовательные приближения $y_0$, $y_1$, $y_2$ к решению уравнения:
$$y_0=0,y_1=\frac{x^2}{2},y_2=\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{20}.$$

б) $y^{\prime }=y^2+3x^2-1$, $y(1)=1$
$$y_0(x)=1$$
$$y_k(x)=y_0+{\int }_1^x(y_{k-1}^2(s)+3s^2-1)\mathrm{d}s,k\in Z_0$$
Для $k=1$, получаем:
$$y_1(x)=y_0+{\int }_1^x(y_0^2(s)+3s^2-1)\mathrm{d}s=1+{\int }_1^x(1+3s^2-1)\mathrm{d}s=1+x^3-1=x^3$$
Для $k=2$, получаем:
$$y_2(x)=y_0+{\int }_1^x(y_1^2(s)+3s^2-1)\mathrm{d}s=1+{\int }_1^x(s^6+3s^2-1)\mathrm{d}s=$$
$$=1+\frac{x^7}{7}+x^3-x-\frac{1}{7}-1+1=1-\frac{1}{7}+\frac{x^7}{7}+x^3-x$$
Таким образом, получаем последовательные приближения $y_0$, $y_1$, $y_2$ к решению уравнения:
$$y_0=1,y_1=x^3,y_2=1-\frac{1}{7}+\frac{x^7}{7}+x^3-x.$$

в) $y^{\prime }=y+e^{y-1}$, $y(0)=1$
$$y_0(x)=1$$
$$y_k(x)=y_0+{\int }_0^x(y_{k-1}(s)+e^{y_{k-1}(s)-1})\mathrm{d}s,k\in Z_0$$
Для $k=1$, получаем:
$$y_1(x)=y_0+{\int }_0^x(y_0(s)+e^{y_0(s)-1})\mathrm{d}s=1+2{\int }_0^x\mathrm{d}s=1+2x$$
Для $k=2$, получаем:
$$y_2(x)=y_0+{\int }_0^x(y_1(s)+e^{y_1(s)-1})\mathrm{d}s=1+{\int }_0^x(1+2s+e^{2s})\mathrm{d}s=1+x+x^2+\frac{e^{2x}}{2}-\frac{1}{2}$$
Таким образом, получаем последовательные приближения $y_0$, $y_1$, $y_2$ к решению уравнения:
$$y_0=1,y_1=1+2x,y_2=\frac{1}{2}+x+x^2+\frac{e^{2x}}{2}.$$

г) $y^{\prime }=1+x\sin y$, $y(\pi )=2\pi$
$$y_0(x)=2\pi$$
$$y_k(x)=y_0+{\int }_{\pi }^x(1+s\sin y_{k-1}(s))\mathrm{d}s,k\in Z_0$$
Для $k=1$, получаем:
$$y_1(x)=y_0+{\int }_{\pi }^x(1+s\sin y_0(s))\mathrm{d}s=2\pi +{\int }_{\pi }^x(1+s\sin (2\pi ))\mathrm{d}s=2\pi +x-\pi =x+\pi$$
Для $k=2$, получаем:
$$y_2(x)=y_0+{\int }_{\pi }^x(1+s\sin y_1(s))\mathrm{d}s=2\pi +{\int }_{\pi }^x(1+s\sin (s+\pi ))\mathrm{d}s=2\pi +{\int }_{\pi }^x(1-s\sin s)\mathrm{d}s$$
Найдем интеграл:
$$\int (1-s\sin s)\mathrm{d}s=s+\int sd(\cos s)=s+s\cos s-\int \cos sds=s+s\cos s-\sin s+C$$
Получаем:
$$y_2(x)=2\pi +x+x\cos x-\sin x-\pi +\pi =2\pi +x+x\cos x-\sin x$$
Таким образом, получаем последовательные приближения $y_0$, $y_1$, $y_2$ к решению уравнения:
$$y_0=2\pi ,y_1=x+\pi ,y_2=2\pi +x+x\cos x-\sin x.$$