В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак втекает 5 л воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Когда количество соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно равно?
Решение
Пусть \(x(t)\) - количество соли в первом баке в момент времени \(t\). Поскольку в баке \(x(t)\) соли из 100 литров раствора, и вытекает 5 литров смеси в минуту, то за \(\Delta t\) времени, из бака вытечет \(\dfrac{5 x(t)}{100}\Delta t\) соли.
Таким образом, за время \(\Delta t\) количество соли уменьшится на \(\dfrac{5 x(t)}{100}\Delta t\):
\[x(t+\Delta t)-x(t)=-\dfrac{5 x(t)}{100}\Delta t\]
Поделив обе части уравнения на \(\Delta t\) и перейдя к пределу при \(\Delta t \to 0\) получим дифференциальное уравнение:
\[x'=-\frac{x}{20}\]
Разделим переменные:
\[\frac{dx}{x}=-\frac{dt}{20}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dx}{x}=-\int \frac{dt}{20}\]
\[\ln|x|=-\frac{t}{20}+\ln C\]
\[x=Ce^{-t/20}\]
Постоянную \(C\) найдем из начального условия. На момент времени \(t=0\) раствор содержал 10 кг соли, следовательно \(x(0)=10\). Получаем \(C=10\).
Таким образом, количество соли в первом баке изменяется со временем по закону:
\[x=10e^{-t/20}\]
Пусть \(y(t)\) - количество соли во втором баке в момент времени \(t\).
За время \(\Delta t\) из первого бака во второй перетечет \(\dfrac{5 x(t)}{100}\Delta t\) соли.
\[\dfrac{5 x(t)}{100}\Delta t=\frac{5\cdot 10e^{-t/20}}{100}\Delta t=\frac{\Delta t}{2}e^{-t/20}\]
В то же время, из второго бака за \(\Delta t\) времени вытечет \(\dfrac{5 y(t)}{100}\Delta t\) соли.
Таким образом, получаем изменение соли во втором баке за время \(\Delta t\):
\[y(t+\Delta t)-y(t)=\frac{\Delta t}{2}e^{-t/20}-\dfrac{5 y(t)}{100}\Delta t\]
Поделив обе части уравнения на \(\Delta t\) и перейдя к пределу при \(\Delta t \to 0\) получим дифференциальное уравнение:
\[y'=\frac{1}{2}e^{-t/20}-\dfrac{ y}{20}\]
\[y'+\dfrac{ y}{20}=\frac{1}{2}e^{-t/20}\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[y'+\dfrac{ y}{20}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=-\frac{dt}{20}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{x}=-\int \frac{dt}{20}\]
\[\ln|y|=-\frac{t}{20}+\ln C\]
\[y=Ce^{-t/20}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=Ce^{-t/20}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(t\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'e^{-t/20}-C\dfrac{1}{20}e^{-t/20}\), то:
\[C'e^{-t/20}-C\dfrac{1}{20}e^{-t/20} +\frac{Ce^{-t/20}}{20}=\frac{1}{2}e^{-t/20}\]
\[C'e^{-t/20}=\frac{1}{2}e^{-t/20}\]
\[C'=\frac{1}{2}\]
\[C=\frac{t}{2}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=Ce^{-t/20}=\left(\frac{t}{2}+C_1 \right)e^{-t/20}\]
Поскольку изначально второй бак наполнен чистой водой, то \(y(0)=0\). Получаем \(C_1=0\).
Таким образом, количество соли во втором баке изменяется со временем по закону:
\[y=\frac{t}{2}e^{-t/20}\]
Чтобы найти, когда количество соли во втором баке будет наибольшим, найдем максимум функции \(y=\dfrac{t}{2}e^{-t/20}\).
Найдем производную:
\[y'=\dfrac{e^{-t/20}}{2}-\dfrac{t}{40}e^{-t/20}=\dfrac{e^{-t/20}}{2}\left(1-\frac{t}{20} \right)\]
Приравняем производную нулю:
\[\dfrac{e^{-t/20}}{2}\left(1-\frac{t}{20} \right)=0\]
Получаем: \(t=20\). Соответственно: \(y(20)=10e^{-1}\approx 3,68\).
Таким образом, количество соли во втором баке будет наибольшим в момент времени \(t=20\) минут и будет равно \(y=3,68\) кг.