Задача 174. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная $a^2$.

Решение
Схематично изобразим треугольник:

$A$ - точка касания; $OAB$ - треугольник, ограниченный касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, $AC$ - высота треугольника $OAB$.

Площадь треугольника $OAB$ (произведение половины основания треугольника на его высоту):
$$S=\frac{|AC||OB|}{2}$$
Поскольку $|AC|=y$, осталось найти $|OB|$.

Уравнение касательной в точке $A$: $y=y_A+y_A^{\prime }(x-x_A)$
Поскольку касательная проходит через точку $B$, получаем:
$$y_B=y_A+y_A^{\prime }(x_B-x_A)$$
Соответственно, так как $y_B=0$ и точка $A$ имеет координаты $(x,y)$, получаем:
$$|OB|=x_B=\frac{y^{\prime }x-y}{y^{\prime }}$$

Таким образом:
$$S=\frac{|AC||OB|}{2}=\frac{(y^{\prime }x-y)y}{2y^{\prime }}=\frac{yx}{2}-\frac{y^2}{2y^{\prime }}$$

Так как по условию площадь треугольника равна $a^2$, получаем уравнение семейства кривых:
$$\frac{yx}{2}-\frac{y^2}{2y^{\prime }}=a^2$$
$$yx-\frac{y^2}{y^{\prime }}=2a^2$$

Уравнение не является линейным относительно переменной $y$, но оно линейно относительно $x$. Преобразуем уравнение, считая $x$ функцией от $y$:
$$y^2{x}^{\prime }-yx=-2a^2$$
$$x^{\prime }-\frac{x}{y}=-\frac{2a^2}{y^2}$$

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$x^{\prime }-\frac{x}{y}=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dx}{x}=\int \frac{dy}{y}$$
$$\ln |x|=\ln |y|+\ln C$$
$$x=Cy$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $x=Cy$.
Считая постоянную $C$ функцией от $y$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $x^{\prime }=C^{\prime }y+C$, то:
$$C^{\prime }y+C-\frac{Cy}{y}=-\frac{2a^2}{y^2}$$
$$C^{\prime }y=-\frac{2a^2}{y^2}$$
$$C^{\prime }=-\frac{2a^2}{y^3}$$
$$C=-\int \frac{2a^2}{y^3}dy=\frac{a^2}{y^2}+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$x=Cy=(\frac{a^2}{y^2}+C_1)y=C_{1}y+\frac{a^2}{y}$$

Таким образом, уравнение семейства кривых, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная $a^2$:
$$x=C_{1}y+\frac{a^2}{y}.$$