Путем подбора найти частное решение, привести данное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его: \(x^{2} y^{\prime}+x y+x^{2} y^{2}=4\).
Решение
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Рикатти. Найдем частное решение.
Ищем частное решение в виде \(y=ax^m\), где \(a=const\). Подставив его в уравнение, получим:
\[x^2amx^{m-1}+xax^m+x^2a^2x^{2m}=4\]
\[amx^{m+1}+ax^{m+1}+a^2x^{2m+2}=4\]
Степени в правой и левой части должны совпадать, поэтому:\( m+1=0\). Следовательно: \(m=-1\).
Подставив \(m=-1\), получим:
\[-a+a+a^2=4\]
Следовательно \(a=2\).
Таким образом, частное решение:
\[y=\frac{2}{x}\]
Поскольку уже известно одно частное решение, проведем замену:
\[y=\frac{2}{x}+z\]
Найдем производную:
\[y'=z'-\frac{2}{x^2}\]
Подставим в исходное уравнение:
\[x^{2}\left(z'-\dfrac{2}{x^2}\right)+x\left(\dfrac{2}{x}+z\right) +x^{2} \left(\dfrac{2}{x}+z\right)^2=4\]
\[x^{2}z'-2+2+xz +4+4xz+x^2z^2=4\]
\[x^2z'+5xz+x^2z^2=0\]
\[z'+5\frac{z}{x}=-z^2\]
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли (\(n=2\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(z^n\) и сделать замену \(1/z^{n-1}=u\).
Разделим уравнение на \(z^{2}\):
\[\frac{z'}{z^2}+\dfrac{5}{xz}=-1\]
Произведем замену \(u=1/z\):
Так как \(u'=-\dfrac{1}{z^2}z'\), то:
\[-u'+5\frac{u}{x}=-1\]
\[u'-5\frac{u}{x}=1\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[u'-5\frac{u}{x}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{du}{u}=5\frac{dx}{x} \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{du}{u}=5\int \frac{dx}{x} \]
\[\ln |u|=5\ln |x| +\ln C\]
\[u=Cx^5\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(u=Cx^5\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(u'=C'x^5+5Cx^4\), то:
\[C'x^5+5Cx^4-5\frac{Cx^5}{x}=1\]
\[C'x^5=1\]
\[C'=\frac{1}{x^5}\]
\[C=\int \frac{1}{x^5}=-\frac{1}{4x^4}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[u=(-\frac{1}{4x^4}+C_1)x^5=C_1x^5-\frac{x}{4}\]
Проведем обратные замены. Так как \(u=1/z\) и \(y=\dfrac{2}{x}+z\):
\[\frac{1}{z}=C_1x^5-\frac{x}{4}\]
\[z=\frac{4}{4C_1x^5-x}\]
\[y-\frac{2}{x}=\frac{4}{4C_1x^5-x}\]
\[y=\frac{2}{x}+\frac{4}{4C_1x^5-x}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=\frac{2}{x}+\frac{4}{4C_1x^5-x}.\]