С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его:
\[\int_{0}^{x}(x-t) y(t) \mathrm{d} t=2 x+\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t.\]
Решение
Пусть \(Y(x)\) - первообразная для \(y(x)\), то есть \(Y'(x)=y(x)\), тогда:
\[\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t=Y(x)-Y(0)\]
Соответственно, если мы продифференцируем это равенство по \(x\), получим:
\[\left(\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t\right)'=(Y(x)-Y(0))'=Y'(x)=y(x)\]
Теперь вернемся к уравнению. Рассмотрим левую часть уравнения:
\[\int_{0}^{x}(x-t) y(t) \ dt=x\int_{0}^{x} y(t) \ dt-\int_{0}^{x} ty(t) \ dt=x\int_{0}^{x} y(t) \ dt-\int_{0}^{x} t \ d(Y(t))\]
Для последнего интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям:
\[\int_{0}^{x} t \ d(Y(t))=tY(t)\Bigg|^x_0-\int_{0}^{x} Y(t)\ dt=xY(x)-\int_{0}^{x} Y(t)\ dt\]
Итак, получаем:
\[\int_{0}^{x}(x-t) y(t) \ dt=x\int_{0}^{x} y(t) \ dt-xY(x)+\int_{0}^{x} Y(t)\ dt\]
Уравнение приняло вид:
\[x\int_{0}^{x} y(t) \ dt-xY(x)+\int_{0}^{x} Y(t)\ dt=2 x+\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t.\]
Взяв производную по \(x\) от обеих частей уравнения, получим:
\[\int_{0}^{x} y(t) \ dt+xy(x)-Y(x)-xy(x)+Y(x)=2+y(x)\]
\[\int_{0}^{x} y(t) \ dt=2+y(x)\]
Взяв производную по \(x\) еще раз, получим:
\[y(x)=y'(x)\]
Или:
\[y'=y\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=\int dx\]
\[\ln|y|=x+\ln C\]
\[y=Ce^x\]
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
\[y=Ce^x\]
Подставив \(x=0\) в уравнение \(\int_{0}^{x} y(t) \ dt=2+y(x)\), получим начальное условие:
\[y(0)=-2\]
Подставив начальное условие в общее решение, получим \(C=-2\).
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=-2e^x.\]