С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его:
\[y(x)=\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t+x+1.\]
Решение
Пусть \(Y(x)\) - первообразная для \(y(x)\), то есть \(Y'(x)=y(x)\), тогда:
\[\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t=Y(x)-Y(0)\]
Соответственно, если мы продифференцируем это равенство по \(x\), получим:
\[\left(\int_{0}^{x} y(t) \mathrm{d} t\right)'=(Y(x)-Y(0))'=Y'(x)=y(x)\]
Теперь вернемся к уравнению. Взяв производную по \(x\) от обеих частей исходного уравнения, получим:
\[y'=y+1\]
Или:
\[y'-y=1\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[y'-y=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=dx \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=\int dx \]
\[\ln|y|=x+\ln C\]
\[y=Ce^x\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=Ce^x\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'e^x+Ce^x\), то:
\[C'e^x+Ce^x-Ce^x=1\]
\[C'=e^{-x}\]
\[C=\int e^{-x}=-e^{-x}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=(-e^{-x}+C_1)e^x=C_1e^x-1\]
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
\[y=C_1e^x-1\]
Исходное уравнение включает в себя начальное условие \(y(0)=1\). Подставив начальное условие в общее решение, получим \(C_1=2\).
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=2e^x-1.\]