С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его: \((x+1)\left(y y^{\prime}-1\right)=y^{2}\).
Решение
Произведем замену \(z=y^2\). Тогда:
\[z'=2yy'\]
Получаем:
\[(x+1)(\frac{z'}{2}-1)=z\]
\[z'-2=\frac{2z}{x+1}\]
\[z'-\frac{2z}{x+1}=2\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'-\frac{2z}{x+1}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=2 \frac{dx}{x+1} \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z}=2 \int \frac{dx}{x+1} \]
\[\ln |z|=2\ln|x+1|+\ln C\]
\[z=C(x+1)^2\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=C(x+1)^2\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'(x+1)^2+2C(x+1)\), то:
\[C'(x+1)^2+2C(x+1)-\frac{2C(x+1)^2}{x+1}=2\]
\[C'(x+1)^2=2\]
\[C'=\frac{2}{(x+1)^2}\]
\[C=\int\frac{2}{(x+1)^2}=-\frac{2}{x+1}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=C(x+1)^2=\left(-\frac{2}{x+1}+C_1 \right)(x+1)^2=-2(x+1)+C_1(x+1)^2\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=y^2\):
\[y^2=-2(x+1)+C_1(x+1)^2\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y^2=-2(x+1)+C_1(x+1)^2.\]