С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его: \(x \ dx=\left(x^{2}-2 y+1\right) \ dy\).
Решение
Произведем замену:
\[z=x^2+1\]
Тогда:
\[dz=2x \ dx\]
Получаем:
\[\frac{1}{2}dz=(z-2y) \ dy\]
\[z'=2z-4y\]
\[z'-2z=-4y\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'-2z=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=2 \ dy \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z}=2 \int dy \]
\[\ln|z|=2y+\ln C\]
\[z=Ce^{2y}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=Ce^{2y}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(y\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'e^{2y}+2Ce^{2y}\), то:
\[C'e^{2y}+2Ce^{2y}-2Ce^{2y}=-4y\]
\[C'e^{2y}=-4y\]
\[C'=-4ye^{-2y}\]
\[C=-4\int ye^{-2y} \ dy\]
Найдем интеграл воспользовавшись формулой интегрирования по частям.
\[C=-4\int ye^{-2y} \ dy=\\ =2\int y \ d(e^{-2y})=2y e^{-2y}- 2\int e^{-2y}\ dy =2y e^{-2y}+e^{-2y}+C_1 \]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=Ce^{2y}=(2y e^{-2y}+e^{-2y}+C_1)e^{2y}=2y+1+C_1e^{2y}\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=x^2+1\):
\[x^2+1=2y+1+C_1e^{2y}\]
\[x^2=2y+C_1e^{2y}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x^2=2y+C_1e^{2y}.\]