Решить уравнение \(2y'-\dfrac{x}{y}=\dfrac{xy}{x^2-1}\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[y'-\dfrac{xy}{2(x^2-1)}=\dfrac{x}{2y}\]
Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=-1\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(y^n\) и сделать замену \(1/y^{n-1}=z\).
Разделим уравнение на \(y^{-1}\):
\[y'y-\dfrac{xy^2}{2(x^2-1)}=\dfrac{x}{2}\]
Произведем замену \(z=1/y^{-2}=y^2\):
Так как \(z'=2yy'\), то:
\[y'=\frac{1}{2y}z'\]
Получаем:
\[\frac{1}{2}z'-\dfrac{xz}{2(x^2-1)}=\dfrac{x}{2}\]
\[z'-\dfrac{xz}{x^2-1}=x\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'-\dfrac{xz}{x^2-1}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=\dfrac{x}{x^2-1} dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z}=\int \dfrac{x}{x^2-1} dx\]
Правый интеграл:
\[\int \dfrac{x}{x^2-1} dx=\frac{1}{2}\int \dfrac{d(x^2-1)}{x^2-1}=\frac{1}{2}\ln|x^2-1|+\ln C\]
Получаем:
\[\ln|z|=\frac{1}{2}\ln|x^2-1|+\ln C\]
\[z=C\sqrt{x^2-1}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=C\sqrt{x^2-1}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'\sqrt{x^2-1}+C\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}\), то:
\[C'\sqrt{x^2-1}+C\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}-C\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}=x\]
\[C'\sqrt{x^2-1}=x\]
\[C'=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\]
\[C=\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2-1)}{\sqrt{x^2-1}} dx=\sqrt{x^2-1}+C_1 \]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=C\sqrt{x^2-1}=\left(\sqrt{x^2-1}+C_1\right) \sqrt{x^2-1}=x^2-1+C_1\sqrt{x^2-1}\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=y^2\):
\[y^2=x^2-1+C_1\sqrt{x^2-1} \]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y^2=x^2-1+C_1\sqrt{x^2-1}. \]