Задача 155. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $xydy=(y^2+x)dx$.

Решение
Преобразуем уравнение:
$$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=\frac{1}{y}$$
$$y^{\prime }-\frac{y}{x}=\frac{1}{y}$$
При преобразовании уравнения могло быть потеряно решение $x=0$. Очевидно, $x=0$ является решением.

Уравнение является уравнением Бернулли ($n=-1$). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на $y^n$ и сделать замену $1/y^{n-1}=z$.

Разделим уравнение на $y^{-1}$:
$$y^{\prime }y-\frac{y^2}{x}=1$$

Произведем замену $z=1/y^{-2}=y^2$:
Так как $z^{\prime }=2y{y}^{\prime }$, то:
$$y^{\prime }=\frac{1}{2y}{z}^{\prime }$$
Получаем:
$$\frac{1}{2}{z}^{\prime }-\frac{z}{x}=1$$
$$z^{\prime }-2\frac{z}{x}=2$$
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.

Найдем решение однородного уравнения:
$$z^{\prime }-2\frac{z}{x}=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dz}{z}=2\frac{dx}{x}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dz}{z}=2\int \frac{dx}{x}$$
$$\ln |z|=2\ln |x|+\ln C$$
$$z=C{x}^2$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $z=C{x}^2$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $z^{\prime }=C^{\prime }{x}^2+2Cx$, то:
$$C^{\prime }{x}^2+2Cx-2\frac{C{x}^2}{x}=2$$
$$C^{\prime }{x}^2=2$$
$$C^{\prime }=\frac{2}{x^2}$$
$$C=\int \frac{2}{x^2}dx=-\frac{2}{x}+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$z=C{x}^2=(-\frac{2}{x}+C_1)x^2=C_1{x}^2-2x$$
Произведем обратную замену. Так как $z=y^2$:
$$y^2=C_1{x}^2-2x$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y^2=C_1{x}^2-2x;x=0.$$