Решить уравнение \((2e^y-x)y'=1\).
Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной \(y\), но оно линейно относительно \(x\). Преобразуем уравнение, считая \(x\) функцией от \(y\).
Учитывая что \(\dfrac{1}{y_x'}=x_y'\), получаем:
\[x'+x=2e^y\]
Найдем решение однородного уравнения:
\[x'+x=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dx}{x}=-dy\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dx}{x}=-\int dy\]
\[\ln |x|=-y+\ln C\]
\[x=Ce^{-y}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(x=Ce^{-y}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(y\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(x'=C'e^{-y}-Ce^{-y}\), то:
\[C'e^{-y}-Ce^{-y}+Ce^{-y}=2e^y\]
\[C'=2e^{2y}\]
\[C=e^{2y}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[x=Ce^{-y}=(e^{2y}+C_1)e^{-y}=e^{y}+C_1e^{-y}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x=e^{y}+C_1e^{-y}.\]