Решить уравнение \(\left(x+y^{2}\right) \ dy=y \ dx\).
Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной \(y\), но оно линейно относительно \(x\). Преобразуем уравнение, считая \(x\) функцией от \(y\):
\[x'y-x=y^2\]
При преобразовании уравнения могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[x'y-x=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dx}{x}=\int \frac{dy}{y}\]
\[\ln|x|=\ln|y|+\ln C\]
\[x=Cy\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(x=Cy\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(y\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(x'=C'y+C\), то:
\[(C'y+C)y-Cy=y^2\]
\[C'=1\]
\[C=y+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[x=Cy=(y+C_1)y=y^2+C_1y\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x=y^2+C_1y; \ y=0.\]