Решить уравнение \(\left(x y^{\prime}-1\right) \ln x=2 y\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[x\ln x y'-2y=\ln x\]
Найдем решение однородного уравнения:
\[x\ln x y'-2y=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=2\frac{dx}{x \ln x}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{x \ln x}\]
Правый интеграл:
\[\int \frac{dx}{x \ln x}=\int \frac{d \ln x}{\ln x}=\ln |\ln x|+\ln C\]
Получаем:
\[\ln |y|=2\ln |\ln x|+\ln C\]
\[y=C\ln^2 x\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=C\ln^2 x\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'\ln^2 x+2\dfrac{1}{x} C\ln x\), то:
\[x\ln x (C'\ln^2 x+2\dfrac{1}{x} C\ln x)-2C\ln^2 x=\ln x\]
\[xC'\ln^2 x=1\]
\[C'=\frac{1}{x\ln^2 x}\]
\[C=\int \frac{dx}{x\ln^2 x}=\int \frac{d(\ln x)}{\ln^2 x}=-\frac{1}{\ln x}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=C\ln^2 x=\left(-\frac{1}{\ln x}+C_1\right) \ln^2 x=C_1 \ln^2 x-\ln x\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=C_1 \ln^2 x-\ln x\]