Решить уравнение \(y=x\left(y^{\prime}-x \cos x\right)\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[xy'-y=x^2\cos x\]
Найдем решение однородного уравнения:
\[xy'-y=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\ln|y|=\ln|x|+\ln C\]
\[y=Cx\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=Cx\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'x+C\), то:
\[x(C'x+C)-Cx=x^2\cos x\]
\[C'=\cos x\]
\[C=\sin x+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=Cx=(\sin x+C_1)x\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=(\sin x+C_1)x\]