Решить уравнение \(xy' - 2y = 2x^4\).
Решение
Найдем решение однородного уравнения:
\[xy' - 2y = 0\]
Разделим переменные:
\[x\frac{dy}{dx}=y\]
\[\frac{dy}{y}=2\frac{dx}{x}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{x}\]
\[\ln |y|=2\ln|x|+\ln C\]
\[y=Cx^2\]
При делении могли быть потеряны решения \(y=0\) и \(x=0\). Очевидно, \(y=0\) и \(x=0\) не являются решениями.
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=Cx^2\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'x^2+2Cx\), то:
\[x(C'x^2+2Cx)-2Cx^2=2x^4\]
\[C'x^3=2x^4\]
\[C'=2x\]
Получаем: \(C=x^2+C_1\).
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=Cx^2=(x^2+C_1)x^2=x^4+C_1x^2\]
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения:
\[y=x^4+C_1x^2.\]