Задача 125. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $2y^{\prime }+x=4\sqrt{y}$.

Решение
Уравнение не является однородным.
Проведем замену $y=z^m$:
Найдем производную:
$$y^{\prime }=m{z}^{m-1}{z}^{\prime }$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$2m{z}^{m-1}{z}^{\prime }+x=4z^{m/2}$$
Это уравнение будет однородным, если $m-1=1=\frac{m}{2}$. То есть при $m=2$. Получаем $y=z^2$:
$$4z{z}^{\prime }+x=4z$$
$$z^{\prime }=1-\frac{x}{4z}$$
Уравнение является однородным. Проведем замену $z=tx$:
Найдем производную:
$$\frac{dz}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x\frac{dt}{dx}=1-\frac{1}{4t}$$
$$x\frac{dt}{dx}=\frac{4t-1-4t^2}{4t}$$
$$x\frac{dt}{dx}=-\frac{(2t-1{)}^2}{4t}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{4t}{(2t-1{)}^2}dt=-\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{4t}{(2t-1{)}^2}dt=-\int \frac{1}{x}dx$$
Левый интеграл:
$$\frac{4t}{(2t-1{)}^2}=\frac{4t-2+2}{(2t-1{)}^2}=2\frac{2t-1}{(2t-1{)}^2}+\frac{2}{(2t-1{)}^2}=\frac{2}{2t-1}+\frac{2}{(2t-1{)}^2}$$
Получаем:
$$\int \frac{2dt}{2t-1}+\int \frac{2dt}{(2t-1{)}^2}=-\int \frac{1}{x}dx$$
$$\ln |2t-1|-\frac{1}{2t-1}=-\ln Cx$$
$$\ln (Cx(2t-1))=\frac{1}{2t-1}$$
$$(2t-1)\ln (Cx(2t-1))=1$$
Произведем обратную замену. Так как $z=tx$, получаем:
$$(2\frac{z}{x}-1)\ln (Cx(2\frac{z}{x}-1))=1$$
Произведем обратную замену. Так как $y=z^2$:
$$(2\frac{\sqrt{y}}{x}-1)\ln (Cx(2\frac{\sqrt{y}}{x}-1))=1$$
$$(2\sqrt{y}-x)\ln (C(2\sqrt{y}-x))=x$$
При делении могли быть потеряны решения $x=0$ и $2t=1(y={\displaystyle \frac{x^2}{4}})$. Очевидно, $x=0$ не является решением, $y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$ является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$(2\sqrt{y}-x)\ln (C(2\sqrt{y}-x))=x;y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}.$$