Задача 115. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $x-y-1+(y-x+2)y^{\prime }=0$.

Решение
$$y^{\prime }=\frac{x-y-1}{x-y-2}$$
Приведем уравнение к однородному виду. Поскольку прямые $x-y-1=0$ и $x-y-2=0$ не пересекаются, уравнение невозможно привести к однородному виду с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых. Поэтому введем замену: $z=x-y-2$.
Найдем производную:
$$z^{\prime }=1-y^{\prime }\Rightarrow y^{\prime }=1-z^{\prime }$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$1-z^{\prime }=\frac{z+1}{z}$$
$$z^{\prime }=-\frac{1}{z}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$zdz=-dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int zdz=-\int dx$$
$$\frac{z^2}{2}=-x+C$$
$$\frac{(x-y-2{)}^2}{2}=-x+C$$
$$\frac{(x-y-2{)}^2}{2}+x=C$$
При делении могло быть потеряно решение $z=0(x-y-2=0)$. Очевидно, $x-y-2=0$ не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$\frac{(x-y-2{)}^2}{2}+x=C.$$