Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \(y^2 \ dx-(xy+x^3) \ dy\).
Решение
Запишем уравнение в виде:
\[y(y \ dx-x\ dy)-x^3 \ dy=0\]
Разделив на \(y^3\) (\(y=0\) не является решением), получим:
\[\frac{y \ dx-x\ dy}{y^2}-\frac{x^3}{y^3}dy=0\]
\[d\left(\frac{x}{y}\right)-\frac{x^3}{y^3}dy=0\]
Произведем замену \(u=\dfrac{x}{y}\):
\[du-u^3 \ dy=0\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
\[\frac{1}{u^3}du=dy\]
\[\int \frac{1}{u^3}du=\int dy\]
\[-\frac{1}{2u^2}+C=y\]
\[\frac{1}{u^2}=2(C-y)\]
При делении могло быть потеряно решение \(u=0 (x=0)\). Очевидно, \(x=0\) является решением.
Произведем обратную замену \(u=\dfrac{x}{y}\):
\[\frac{y^2}{x^2}=2(C-y)\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y^2=2(C-y)x^2; \ x=0.\]