уравнение Риккати — Страница 2

Путем подбора найти частное решение, привести данное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его: $y^{'} + 2 y e^{x} - y^{2} = e^{2 x} + e^{x}$ .

Решение
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Рикатти. Найдем частное решение.
Ищем частное решение в виде $y = e^{x} + a$ , где $a$ постоянная. Подставив его в уравнение, получим:
$e^{x} + 2 (e^{x} + a) e^{x} - (e^{x} + a)^{2} = e^{2 x} + e^{x}$
$e^{x} + 2 e^{2 x} + 2 a e^{x} - e^{2 x} - 2 a e^{x} - a^{2} = e^{2 x} + e^{x}$
$a^{2} = 0$
Получаем частное решение:
$y = e^{x}$

Поскольку уже известно одно частное решение, проведем замену:
$y = e^{x} + z$
Найдем производную:
$y^{'} = e^{x} + z^{'}$
Подставим в исходное уравнение:
$e^{x} + z^{'} + 2 (e^{x} + z) e^{x} - (e^{x} + z)^{2} = e^{2 x} + e^{x}$
$e^{x} + z^{'} + 2 e^{2 x} + 2 z e^{x} - e^{2 x} - 2 z e^{x} - z^{2} = e^{2 x} + e^{x}$
$z^{'} - z^{2} = 0$
$z^{'} = z^{2}$
Разделим переменные:
$\frac{d z}{z^{2}} = d x$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$\int \frac{d z}{z^{2}} = \int d x$
$- \frac{1}{z} = x + C$
$z = - \frac{1}{x + C}$

Проведем обратную замену. Так как $y = e^{x} + z$ :
$y - e^{x} = - \frac{1}{x + C}$
$y = e^{x} - \frac{1}{x + C}$

Таким образом, решение исходного уравнения:
$y = e^{x} - \frac{1}{x + C} .$