Путем подбора найти частное решение, привести данное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его: \(y^{\prime}-2 x y+y^{2}=5-x^{2}\).
Решение
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Рикатти. Найдем частное решение.
Ищем частное решение в виде \(y=ax+b\), где \(a\) и \(b\) постоянные. Подставив его в уравнение, получим:
\[a-2x(ax+b)+(ax+b)^2=5-x^2\]
\[a-2ax^2-2bx+a^2x^2+2abx+b^2=5-x^2\]
\[x^2(a^2-2a)+z(2ab-2b)+a+b^2=5-x^2\]
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\):
\[a^2-2a=-1 \\ 2ab-2b=0 \\ a+b^2=5\]
Из первого уравнения получаем \(a=1\). Подставив \(a=1\) в третье уравнение, получим \(b=2\). Соответственно получаем частное решение: \(y=x+2\).
Поскольку уже известно одно частное решение, проведем замену:
\[y=x+2+z\]
Найдем производную:
\[y'=1+z'\]
Подставим в исходное уравнение:
\[1+z'-2 x (x+2+z)+(x+2+z)^{2}=5-x^{2}\]
\[1+z'-2 x^2-4x-2xz+(x+2)^2+2(x+2)z+z^2=5-x^{2}\]
\[1+z'-2 x^2-4x-2xz+x^2+4x+4+2xz+4z+z^2=5-x^{2}\]
\[z'+4z+z^2=0\]
\[z'+4z=-z^2\]
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли (\(n=2\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(z^n\) и сделать замену \(1/z^{n-1}=u\).
Разделим уравнение на \(z^{2}\):
\[\frac{z'}{z^2}+\frac{4}{z}=-1\]
Произведем замену \(u=1/z\):
Так как \(u'=-\dfrac{1}{z^2}z'\), то:
\[-u' +4u=-1\]
\[u' =4u+1\]
Разделим переменные:
\[\frac{du}{4u+1}=dx \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{du}{4u+1}=\int dx \]
\[\frac{1}{4}\ln|4u+1|=x+\ln C_1\]
\[u=\frac{ Ce^{4x}-1}{4}\]
Проведем обратные замены. Так как \(u=1/z\) и \(y=x+2+z\):
\[\frac{1}{z}=\frac{ Ce^{4x}-1}{4}\]
\[z=\frac{4}{Ce^{4x}-1}\]
\[y-x-2=\frac{4}{Ce^{4x}-1}\]
\[y=x+2+\frac{4}{Ce^{4x}-1}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=x+2+\frac{4}{Ce^{4x}-1}.\]