Путем подбора найти частное решение, привести данное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его: \(y^{\prime}+2 y \mathrm{e}^{x}-y^{2}=\mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{x}\).
Решение
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Рикатти. Найдем частное решение.
Ищем частное решение в виде \(y=e^x+a\), где \(a\) постоянная. Подставив его в уравнение, получим:
\[e^x+2(e^x+a)e^x-(e^x+a)^2=e^{2x}+e^x\]
\[e^x+2e^{2x}+2ae^x-e^{2x}-2ae^x-a^2=e^{2x}+e^x\]
\[a^2=0\]
Получаем частное решение:
\[y=e^x\]
Поскольку уже известно одно частное решение, проведем замену:
\[y=e^x+z\]
Найдем производную:
\[y'=e^x+z'\]
Подставим в исходное уравнение:
\[e^x+z'+2 (e^x+z) e^{x}-(e^x+z)^{2}=e^{2 x}+e^{x}\]
\[e^x+z'+2e^{2x}+2ze^x-e^{2x}-2ze^x-z^2=e^{2 x}+e^{x}\]
\[z'-z^2=0\]
\[z'=z^2\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z^2}=dx \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z^2}=\int dx \]
\[-\frac{1}{z}=x+C\]
\[z=-\frac{1}{x+C}\]
Проведем обратную замену. Так как \(y=e^x+z\):
\[y-e^x=-\frac{1}{x+C}\]
\[y=e^x-\frac{1}{x+C}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=e^x-\frac{1}{x+C}.\]