Решить уравнение \(y'+2y=y^2e^x\).
Решение
Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=2\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(y^n\) и сделать замену \(1/y^{n-1}=z\).
Разделим уравнение на \(y^2\):
\[\frac{y'}{y^2} +\frac{2}{y}=e^x\]
При делении могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Произведем замену \(z=1/y\):
Так как \(z'=-\dfrac{1}{y^2}y'\), то:
\[y'=-z'y^2\]
Получаем:
\[-z'+2z=e^x\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[-z'+2z=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=2 \ dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z}=2 \int \ dx\]
\[\ln z=2x+C\]
\[z=Ce^{2x}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=Ce^{2x}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'e^{2x}+2Ce^{2x}\), то:
\[-\left(C'e^{2x}+2Ce^{2x}\right)+2Ce^{2x}=e^x\]
\[C'=-e^{-x}\]
\[C=e^{-x}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=Ce^{2x}=\left(e^{-x}+C_1\right)e^{2x}=C_1e^{2x}+e^{x}\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=1/y\):
\[\frac{1}{y}=C_1e^{2x}+e^{x}\]
\[y=\frac{1}{C_1e^{2x}+e^{x}}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=\frac{1}{C_1e^{2x}+e^{x}}; \ y=0.\]