Решить уравнение \(xy'+2y+x^5y^3e^x=0\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[y'+2\frac{y}{x}=-x^4y^3e^x\]
Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=3\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(y^n\) и сделать замену \(1/y^{n-1}=z\).
Разделим уравнение на \(y^{3}\):
\[\frac{y'}{y^3}+2\frac{1}{xy^2}=-x^4e^x\]
При делении могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Произведем замену \(z=1/y^{2}\):
Так как \(z'=-\dfrac{2}{y^3} y'\), то:
\[y'=-\frac{1}{2}y^3z'\]
Получаем:
\[-\frac{1}{2}z'+2\frac{z}{x}=-x^4e^x\]
\[z'-4\frac{z}{x}=2x^4e^x\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'-4\frac{z}{x}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=4\frac{dx}{x}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z}=4\int \frac{dx}{x}\]
\[\ln |z|=4\ln |x|+\ln C\]
\[z=Cx^4\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=Cx^4\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'x^4+4Cx^3\), то:
\[C'x^4+4Cx^3-4\frac{Cx^4}{x}=2x^4e^x\]
\[C'=2e^x\]
\[C=2\int e^x \ dx\]
\[C=2e^x+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=Cx^4=\left(2e^x+C_1 \right) x^4\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=\dfrac{1}{y^2}\):
\[\dfrac{1}{y^2}=\left(2e^x+C_1 \right) x^4 \]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\dfrac{1}{y^2}=\left(2e^x+C_1 \right) x^4; \ y=0. \]