Найти траектории, ортогональные к линиям семейства: \(y^2=Ce^x+x+1\).
Решение
Выразим \(C\) из уравнения семейства кривых:
\[C=\frac{y^2-x-1}{e^x}\]
Продифференцируем уравнение семейства кривых:
\[2yy'=Ce^x+1\]
Подставим \(C\):
\[2yy'=Ce^x+1=e^x\frac{y^2-x-1}{e^x}+1=y^2-x-1+1=y^2-x\]
Таким образом, дифференциальное уравнение исходного семейства кривых:
\[2yy'=y^2-x\]
Заменив в этом уравнении \(y'\) на \(-1/y'\) получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий:
\[-\frac{2y}{y'}=y^2-x\]
\[y'=\frac{2y}{x-y^2}\]
Уравнение не является линейным относительно переменной \(y\), но оно линейно относительно \(x\). Преобразуем уравнение, считая \(x\) функцией от \(y\):
\[x'=\frac{x-y^2}{2y}\]
\[x'-\frac{x}{2y}=-\frac{y}{2}\]
При преобразовании могло быть потеряно решение \(y=0\), очевидно \(y=0\) является решением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[x'-\frac{x}{2y}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dx}{x}=\frac{1}{2}\frac{dy}{y}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dx}{x}= \frac{1}{2}\int\frac{dy}{y}\]
\[\ln |x|=\frac{1}{2}\ln |y|+\ln C\]
\[ x=C \sqrt{y} \]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(x=C \sqrt{y}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(y\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(x'=C'\sqrt{y}+ C\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\), то:
\[C'\sqrt{y}+ C\dfrac{1}{2\sqrt{y}}-\frac{C \sqrt{y}}{2y}=-\frac{y}{2}\]
\[C'=-\frac{\sqrt{y}}{2}\]
\[C=-\int\frac{\sqrt{y}}{2}=-\frac{y^{3/2}}{3}+C_1=-\frac{y\sqrt{y}}{3}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[x=C \sqrt{y}=\left(-\frac{y\sqrt{y}}{3}+C_1 \right) \sqrt{y}=C_1\sqrt{y}-\frac{y^2}{3}\]
Пусть \(C_2=3C_1\), тогда получаем решение дифференциального уравнения ортогональных кривых:
\[3x=C_2\sqrt{y}-y^2\]
Таким образом, уравнение траекторий, ортогональных к линиям исходного семейства:
\[3x=C_2\sqrt{y}-y^2; \ y=0.\]