практикум

Уравнение $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции $F(x,y)$.

Соответственно, уравнение может быть записано в виде:

$$dF(x,y)=0.$$

Это возможно, если ${\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}}={\displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}}$.

Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, нужно найти функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y)=F_x^{\prime }dx+F_y^{\prime }dy$ равен левой части уравнения. То есть такую, для которой $M(x,y)=F_x^{\prime }$ и $N(x,y)=F_y^{\prime }$.

Тогда общее решение уравнения можно написать в виде $F(x,y)=C$, где $C$ это произвольная постоянная.

Пример 1. Рассмотрим уравнение $(2x+3x^{2}y)dx+(x^3-3y^2)dy=0$.

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах.

$$M(x,y)=2x+3x^{2}y,N(x,y)=x^3-3y^2$$

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(2x+3x^{2}y)=3x^2$$

$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x^3-3y^2)=3x^2$$

Получаем ${\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}}={\displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}}$, следовательно исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию $F(x,y)$, полный дифференциал которой $dF(x,y)=F_x^{\prime }dx+F_y^{\prime }dy$ был бы равен левой части уравнения, то есть такую функцию $F(x,y)$, что:

$$F_x^{\prime }=2x+3x^{2}y,F_y^{\prime }=x^3-3y^2$$

Интегрируем $F_x^{\prime }$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F=\int (2x+3x^{2}y)dx=x^2+x^{3}y+f(y)$$

Где $f(y)$ — неизвестная функция от $y$.

Дифференцируем полученное выражение для $F$ по $y$ :

$$F_y^{\prime }={(x^2+x^{3}y+f(y))}_y^{\prime }=x^3+f^{\prime }(y)$$

Так как $F_y^{\prime }=x^3-3y^2$, получаем:

$$x^3+f^{\prime }(y)=x^3-3y^2$$

$$f^{\prime }(y)=-3y^2$$

$$f(y)=-y^3+const$$

Получаем $F(x,y)=x^2+x^{3}y-y^3$, и общее решение исходного уравнения имеет вид:

$$x^2+x^{3}y-y^3=C.$$

 

Уравнения приводимые к уравнению в полных дифференциалах

Интегрирующий множитель

Интегрирующим множителем для уравнения $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ называется такая функция $m(x,y)$, после умножения на которую уравнение преобразуется в уравнение в полных дифференциалах.

Если функции $M(x,y)$ и $N(x,y)$ имеют непрерывные частные производные и не обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако нет общего метода для его отыскания.

Для решения некоторых уравнений можно применять метод выделения полных дифференциалов, используя известные формулы:

$$d(xy)=ydx+xdy,d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^2},d(\ln y)=\frac{dy}{y}$$

И прочие формулы.

Пример 2. Рассмотрим уравнение $ydx-(4x^{2}y+x)dy=0$.

Сначала выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как $ydx-xdy=-x^{2}d(y/x)$, то, разделив уравнение на $-x^2$ ($x=0$ является решением), получим:

$$d\left(\frac{y}{x}\right)+4ydy=0$$

$$d\left(\frac{y}{x}\right)+d(2y^2)=0$$

$$d(\frac{y}{x}+2y^2)=0$$

Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Соответственно, получаем решение этого уравнения:

$$\frac{y}{x}+2y^2=C;x=0.$$

В данном случае интегрирующим множителем является функция $m(x,y)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

 

Замена переменных

Если в уравнении $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ можно выделить полный дифференциал некоторой функции $\phi (x,y)$, то иногда уравнение упрощается, если от переменных $(x,y)$ перейти к переменным $(x,z)$ или $(y,z)$, где $z=\phi (x,y)$ .

Пример 3. Рассмотрим уравнение $ydx-(x^{3}y+x)dy=0$.

Сначала выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как $ydx-xdy=-x^{2}d(y/x)$, то, разделив уравнение на $-x^2$, получим:

$$d\left(\frac{y}{x}\right)+xydy=0$$

Перейдя к переменным $z=y/x$ и $y$, получим уравнение, которое легко можно решить:

$$dz+\frac{y^2}{z}dy=0.$$

Пример 4.  Рассмотрим уравнение $(xy+y^4)dx+(x^2-x{y}^3)dy=0$.

Сгруппируем члены так, чтобы выделить полные дифференциалы:

$$x(ydx+xdy)+y^3(ydx-xdy)=0$$

$$xd(xy)+y^{5}d\left(\frac{x}{y}\right)=0$$

Перейдя к переменным $u=xy$ и $v=x/y$, получим уравнение, которое легко можно решить:

$$du+\frac{u^2}{v^3}dv=0.$$