однородные уравнения

Решить уравнение $x{y}^{\prime }-y=x\text{tg}\frac{y}{x}$.

Решение
Приведем уравнение к однородному виду:
$$y^{\prime }=\frac{y}{x}+\text{tg}\frac{y}{x}$$
Уравнение является однородным. Проведем замену $y=tx$:
Найдем производную:
$$y^{\prime }=t+x{t}^{\prime }$$
Подставим замену и полученную производную в уравнение:
$$t+x{t}^{\prime }=t+\text{tg}t$$
$$t^{\prime }=\frac{\text{tg}t}{x}$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{1}{\text{tg}t}dt=\frac{1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{1}{\text{tg}t}dt=\int \frac{1}{x}dx$$
Левый интеграл:
$$\int \frac{1}{\text{tg}t}dt=\int \frac{\cos t}{\sin t}dt=\int \frac{1}{\sin t}d(\sin t)=\ln |\sin t|+C$$
Получаем:
$$\ln |\sin t|=\ln |x|+\ln |C|$$
$$\ln |\sin t|=\ln |Cx|$$
$$\sin t=Cx$$
Произведем обратную замену. Так как $y=tx$:
$$\sin \frac{y}{x}=Cx$$
При делении могли быть потеряны решения $\text{tg}t=0$ $(y=\pi nx,n\in \mathbb{Z})$ и $x=0$. Очевидно, $y=\pi nx$ входит в общее решение при $C=0$, $x=0$ не является решением.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$\sin \frac{y}{x}=Cx.$$