За время \(\Delta t\) (где \(\Delta t\) очень мало и выражено в долях года) из каждого грамма радия распадается 0,00044 \(\Delta t\) грамма и образуется 0,00043 \(\Delta t\) грамма радона. Из каждого грамма радона за время \(\Delta t\) распадается 70 \(\Delta t\) грамма. В начале опыта имелось некоторое количество \(x_0\) чистого радия. Когда количество образовавшегося и еще не распавшегося радона будет наибольшим?
Решение
Пусть \(x(t)\) - количество радия в момент времени \(t\).
За время \(\Delta t\) из каждого грамма радия распадается 0,00044 \(\Delta t\) грамма, соответственно за время \(\Delta t\) количество радия уменьшится на \(\Delta t \cdot 0,00044 \cdot x(t)\). Таким образом:
\[x(t+\Delta t)-x(t)=-\Delta t \cdot 0,00044 \cdot x(t)\]
Поделив обе части уравнения на \(\Delta t\) и перейдя к пределу при \(\Delta t \to 0\) получим дифференциальное уравнение:
\[x'=-0,00044 x\]
Разделим переменные:
\[\frac{dx}{x}=0,00044\ dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dx}{x}=-\int 0,00044 \ dt\]
\[\ln |x|=- 0,00044 t +\ln C\]
\[x=Ce^{- 0,00044 t }\]
В момент времени \(t=0\) было \(x_0\) чистого радия, следовательно \(x(0)=x_0\). Получаем \(C=x_0\).
Таким образом, количество радия изменяется со временем по закону:
\[x=x_0e^{- 0,00044 t }\]
Пусть \(y(t)\) - количество радона в момент времени \(t\).
За время \(\Delta t\) из каждого грамма радия образуется 0,00043 \(\Delta t\) грамма радона и из каждого грамма радона за время \(\Delta t\) распадается 70 \(\Delta t\) грамма радона. Таким образом:
\[y(t+\Delta t)-y(t)=0,00043\cdot \Delta t \cdot x(t)-70\cdot \Delta t \cdot y(t)\]
Поделив обе части уравнения на \(\Delta t\) и перейдя к пределу при \(\Delta t \to 0\), и подставив \(x(t)\) получим дифференциальное уравнение:
\[y'=0,00043x_0e^{- 0,00044 t }-70y\]
\[y'+70y=0,00043x_0e^{- 0,00044 t }\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[y'+70y=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=-70 dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=-70 \int dt\]
\[\ln |y|=-70t +\ln C\]
\[y=Ce^{-70t}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=Ce^{-70t}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(t\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'e^{-70t}-70Ce^{-70t}\), то:
\[C'e^{-70t}-70Ce^{-70t}+70Ce^{-70t}=0,00043x_0e^{- 0,00044 t }\]
\[C'e^{-70t}=0,00043x_0e^{- 0,00044 t }\]
\[C'=0,00043x_0e^{\left(70-0,00044\right) t }\]
\[C=\int 0,00043x_0e^{\left(70-0,00044\right) t }dt\]
\[C=\frac{0,00043x_0}{70-0,00044}e^{\left(70-0,00044\right) t}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=Ce^{-70t}=\left(\frac{0,00043x_0}{70-0,00044}e^{\left(70-0,00044\right) t}+C_1\right)e^{-70t}\]
\[y=\frac{0,00043x_0}{70-0,00044}e^{-0,00044 t}+C_1e^{-70t}\]
В момент времени \(t=0\) был только чистый радий и не было радона, следовательно \(y(0)=0\). Получаем:
\[0=\frac{0,00043x_0}{70-0,00044}+C_1\]
\[C_1=-\frac{0,00043x_0}{70-0,00044}\]
Таким образом, количество радона изменяется со временем по закону:
\[y=\frac{0,00043x_0}{70-0,00044}\left(e^{-0,00044 t}-e^{-70t}\right)\]
Чтобы найти наибольшее количество образовавшегося и еще не распавшегося радона, найдем производную \(y'\):
\[y'=\frac{0,00043x_0}{70-0,00044}\left(-0,00044e^{-0,00044 t}+70e^{-70t}\right)\]
Приравняв производную к нулю, получим:
\[-0,00044e^{-0,00044 t}+70e^{-70t}=0\]
\[e^{(70-0,00044)t}=\frac{70}{0,00044}\]
\[t=\frac{\ln 70-\ln(0,00044)}{70-0,00044}\approx 0,171 \ года \approx 62,45 \ дня\]
Таким образом, количество образовавшегося и еще не распавшегося радона будет наибольшим через 62,45 дня.