Даны два различных решения \(y_1\) и \(y_2\) линейного уравнения первого порядка. Выразить через них общее решение этого уравнения.
Решение
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение:
\[y^{\prime}+a(x) y=b(x)\]
Если \(b(x)=0\), то уравнение является линейным однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются:
\[\frac{dy}{dx}+a(x)y=0\]
\[\frac{dy}{y}=-a(x)dx\]
Интегрируя, получаем:
\[\ln |y|=-\int a(x)dx +\ln C\]
\[y=Ce^{-\int a(x)dx }\]
Для интегрирования неоднородного линейного уравнения применим метод вариации постоянной. Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
\[y=C(x)e^{-\int a(x)dx }\]
Найдем производную:
\[y'=C'(x)e^{-\int a(x)dx }-C(x)a(x)e^{-\int a(x)dx }\]
Подставив в исходное неоднородное уравнение, получим:
\[C'(x)e^{-\int a(x)dx }-C(x)a(x)e^{-\int a(x)dx }+a(x)C(x)e^{-\int a(x)dx }=b(x)\]
\[C'(x)e^{-\int a(x)dx }=b(x)\]
\[C'(x)=b(x)e^{\int a(x)dx }\]
Интегрируя, получим:
\[C(x)=\int b(x)e^{\int a(x)dx } \ dx+C_0\]
Подставив полученную функцию \(C(x)\) в решение однородного уравнения, получим общее решение неоднородного линейного уравнения:
\[y=C(x)e^{-\int a(x)dx }=\left(\int b(x)e^{\int a(x)dx } \ dx+C_0 \right)e^{-\int a(x)dx }\]
Введем обозначения:
\[\beta (x)=\int b(x)e^{\int a(x)dx } \ dx \\ \alpha (x)=e^{-\int a(x)dx }\]
Тогда общее решение неоднородного линейного уравнения примет вид:
\[y=(\beta (x)+C_0)\alpha(x)\]
Пусть \(C_1\) и \(C_2\) постоянные соответствующие частным решениям \(y_1\) и \(y_2\). Тогда решения можно записать в виде:
\[y_1=\left(\beta(x)+C_1\right)\alpha (x), \ y_2=(\beta(x)+C_2)\alpha (x)\]
Выразим \(\alpha (x)\), \(\beta(x)\) через решения \(y_1\) и \(y_2\). Выразив \(\alpha (x)\) из обоих равенств и приравняв, получим:
\[\alpha (x) =\frac{y_1}{\beta(x)+C_1}=\frac{y_2}{\beta(x)+C_2}\]
\[y_1(\beta(x)+C_2)=y_2(\beta(x)+C_1)\]
\[\beta(x) (y_1-y_2)=C_1y_2-C_2y_1\]
\[\beta(x) =\frac{C_1y_2-C_2y_1}{y_1-y_2} \]
Подставим \(\beta(x)\) в \(\alpha (x)\):
\[\alpha (x) =\frac{y_1}{\beta(x)+C_1}=\frac{y_1(y_1-y_2)}{C_1y_2-C_2y_1+C_1 (y_1-y_2)}\]
\[\alpha (x) =\frac{y_1(y_1-y_2)}{C_1 y_1-C_2y_1}=\frac{y_1-y_2}{C_1 -C_2}\]
Подставим полученные \(\alpha (x)\) и \(\beta(x)\) в общее решение неоднородного линейного уравнения:
\[y=(\beta (x)+C_0)\alpha(x)\]
\[y=\left(\frac{C_1y_2-C_2y_1}{y_1-y_2} +C_0\right)\frac{y_1-y_2}{C_1 -C_2}\]
\[y=\frac{1}{C_1 -C_2}\left(C_1y_2-C_2y_1 +C_0(y_1-y_2)\right)\]
\[y=\frac{y_1(C_0-C_2)+y_2(C_1-C_0)}{C_1 -C_2}\]
\[y=y_1+\frac{y_1(C_0-C_1)+y_2(C_1-C_0)}{C_1 -C_2}\]
\[y=y_1+\frac{C_1-C_0}{C_1 -C_2}(y_2-y_1)\]
Обозначим произвольную постоянную \(\widetilde C=\dfrac{C_1-C_0}{C_1 -C_2}\), тогда:
\[y=y_1+\widetilde C (y_2-y_1)\]
Таким образом, общее решение линейного уравнения первого порядка можно выразить через два различных частных решения \(y_1\) и \(y_2\) следующим образом:
\[y=y_1+\widetilde C (y_2-y_1).\]