Найти то решение уравнения \(y^{\prime} \sin 2 x=2(y+\cos x)\), которое остается ограниченным при \(x\to \pi/2\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[y'-\frac{2y}{\sin 2x}=2\frac{\cos x}{\sin 2x}\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[y'-\frac{2y}{\sin 2x}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=2\frac{dx}{\sin 2x} \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{\sin 2x} \]
Правый интеграл:
\[\int \frac{dx}{\sin 2x}=\int \frac{dx}{2\sin x \cos x}=\int \frac{\cos x dx}{2\sin x \cos^2 x}=\int \frac{1}{2\operatorname{tg} x}d(\operatorname{tg} x)=\frac{\ln|\operatorname{tg} x|}{2}+\ln C\]
Получаем:
\[\ln|y|=\ln|\operatorname{tg} x|+\ln C\]
\[y=C\operatorname{tg} x\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=C\operatorname{tg} x\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'\operatorname{tg} x+C\dfrac{1}{\cos^2x}\), то:
\[C'\operatorname{tg} x+C\dfrac{1}{\cos^2x}-\frac{2C\operatorname{tg} x}{\sin 2x}=2\frac{\cos x}{\sin 2x}\]
\[C'\operatorname{tg} x=2\frac{\cos x}{\sin 2x}\]
\[C'\frac{\sin x}{\cos x}=2\frac{\cos x}{2\sin x \cos x}\]
\[C'=\frac{\cos x}{\sin^2 x }\]
\[C=\int\frac{\cos x}{\sin^2 x }dx=\int\frac{d(\sin x)}{\sin^2 x }=-\frac{1}{\sin x}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=C\operatorname{tg} x=\left(-\frac{1}{\sin x }+C_1\right)\operatorname{tg} x=C_1\operatorname{tg} x-\frac{1}{\cos x}\]
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
\[y=C_1\operatorname{tg} x-\frac{1}{\cos x}\]
Рассмотрим \(\lim\limits_{x\to\pi/2}y(x) \):
\[\lim\limits_{x\to\pi/2}y(x)=\lim\limits_{x\to\pi/2}\left(C_1\operatorname{tg} x-\frac{1}{\cos x}\right)\]
Предел существует только при \(C_1=1\) и равен нулю.
Таким образом, решение исходного уравнения, которое остается ограниченным при \(x\to \pi/2\):
\[y=\operatorname{tg} x-\frac{1}{\cos x}.\]