Решить уравнение \((2 x+1) y^{\prime}=4 x+2 y\).
Решение
Найдем решение однородного уравнения:
\[(2 x+1) y^{\prime}=2y\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=2\frac{dx}{2x+1}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{2x+1}\]
\[\ln |y|=\ln|2x+1|+\ln C\]
\[y=C(2x+1)\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=C(2x+1)\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'(2x+1) +2C\), то:
\[(2 x+1) (C'(2x+1) +2C)=4 x+2 C(2x+1)\]
\[(2 x+1) C'(2x+1)=4 x\]
\[ C'=\frac{4x}{(2 x+1)^2}\]
\[C=\int \frac{4x}{(2 x+1)^2}=2\int \frac{2x+1-1}{(2 x+1)^2}=\\ =2\int \frac{1}{2 x+1}-2\int \frac{1}{(2 x+1)^2}=\ln|2x+1|+\frac{1}{2x+1}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=C(2x+1)=(2x+1)(\ln|2x+1|+C_1) +1\]
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения:
\[y=(2x+1)(\ln|2x+1|+C_1) +1.\]