Решить уравнение \(y^{\prime}+y \operatorname{tg} x=\sec x\).
Решение
Найдем решение однородного уравнения:
\[y^{\prime}+y \operatorname{tg} x=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=-\operatorname{tg} x \ dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=-\int\operatorname{tg} x \ dx\]
Правый интеграл:
\[\int\operatorname{tg} x \ dx=-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}=-\ln |\cos x|\]
Получаем:
\[\ln|y|=\ln|\cos x|+\ln C\]
\[y=C\cos x\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=C\cos x\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C' \cos x -C\sin x\), то:
\[C' \cos x -C\sin x+C\cos x \operatorname{tg} x=\sec x\]
\[C'=\frac{1}{\cos ^2 x}\]
\[C=\int \frac{1}{\cos ^2 x}=\operatorname{tg} x+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=C\cos x=(\operatorname{tg} x+C_1)\cos x=\sin x+C_1\cos x\]
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения:
\[y=\sin x+C_1\cos x\]