Решить уравнение \(\left(x y+e^{x}\right) dx-x \ dy=0\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[xy'-xy=e^x\]
При преобразовании уравнения могло быть потеряно решение \(x=0\). Очевидно, \(x=0\) является решением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[xy'-xy=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}= dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int\frac{dy}{y}=\int dx\]
\[\ln|y|=x+\ln C\]
\[y=Ce^x\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=Ce^x\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C' e^x+Ce^x\), то:
\[x(C' e^x+Ce^x)-xCe^x=e^x\]
\[C'=\frac{1}{x}\]
\[C=\ln|x|+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=Ce^x=(\ln|x|+C_1)e^x\]
Таким образом, мы получили решение исходного уравнения:
\[y=(\ln|x|+C_1)e^x; \ x=0.\]