Решить уравнение \(x^{2} y^{\prime}+x y+1=0\).
Решение
Найдем решение однородного уравнения:
\[x^2y'+xy=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x}\]
\[\ln|y|=-\ln|x|+\ln C\]
\[y=\frac{C}{x}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=\dfrac{C}{x}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=\dfrac{C'}{x}-\dfrac{C}{x^2}=\dfrac{C'x-C}{x^2}\), то:
\[x^{2}\dfrac{C'x-C}{x^2} +x \frac{C}{x}+1=0\]
\[C'x=-1\]
\[C'=-\frac{1}{x}\]
\[C=-\ln|x|+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=\dfrac{C}{x}=\dfrac{-\ln|x|+C_1}{x}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=\dfrac{-\ln|x|+C_1}{x}\]