Решить уравнение \(x y^{\prime}+(x+1) y=3 x^{2} \mathrm{e}^{-x}\).
Решение
Найдем решение однородного уравнения:
\[x y^{\prime}+(x+1) y=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=-\frac{x+1}{x}dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{x+1}{x}dx\]
\[\ln |y|=-x-\ln|x|+\ln C\]
\[y=C\frac{e^{-x}}{x}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=C\dfrac{e^{-x}}{x}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'\dfrac{e^{-x}}{x}+C\dfrac{-xe^{-x}-e^{-x}}{x^2}\), то:
\[x (C'\dfrac{e^{-x}}{x}+C\dfrac{-xe^{-x}-e^{-x}}{x^2})+(x+1) C\dfrac{e^{-x}}{x}=3 x^{2} \mathrm{e}^{-x}\]
\[C'=3x^2\]
\[C=x^3+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=C\dfrac{e^{-x}}{x}=(x^3+C_1)\dfrac{e^{-x}}{x}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[xy=(x^3+C_1)e^{-x}.\]