Решить уравнение \((\sin^2y+x\operatorname{ctg}y )y'=1\).
Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной \(y\), но оно линейно относительно \(x\). Преобразуем уравнение, считая \(x\) функцией от \(y\).
Учитывая что \(\dfrac{1}{y_x'}=x_y'\), получаем:
\[x'-x\operatorname{ctg}y=\sin^2y\]
Найдем решение однородного уравнения:
\[x'-x\operatorname{ctg}y=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dx}{x}=\operatorname{ctg}y \ dy\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dx}{x}=\int \operatorname{ctg}y \ dy\]
Правый интеграл:
\[\int \operatorname{ctg}y \ dy=\int \frac{d(\sin y)}{\sin y} =\ln|\sin y|+\ln C\]
Получаем:
\[\ln|x|=\ln|\sin y|+\ln C\]
\[x=C \sin y\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(x=C \sin y\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(y\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(x'=C' \sin y+C\cos y\), то:
\[C' \sin y+C\cos y-C \sin y\operatorname{ctg}y=\sin^2y\]
\[C' =\sin y\]
\[C =-\cos y+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[x=C \sin y=(-\cos y+C_1)\sin y\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x=(C_1-\cos y)\sin y\]