Решить уравнение \((2x+y ) \ dy=y \ dx +4 \ln y \ dy\).
Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной \(y\), но оно линейно относительно \(x\). Преобразуем уравнение, считая \(x\) функцией от \(y\).
\[x'y-2x=y-4\ln y\]
Найдем решение однородного уравнения:
\[x'y-2x=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dx}{x}=2\frac{dy}{y}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dx}{x}=2\int \frac{dy}{y}\]
Получаем:
\[\ln|x|=2\ln| y|+\ln C\]
\[x=C y^2\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(x=C y^2\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(y\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(x'=C' y^2+2Cy\), то:
\[(C' y^2+2Cy)y-2C y^2=y-4\ln y\]
\[C' y^3=y-4\ln y\]
\[C' =y^{-2}-4y^{-3}\ln y\]
\[C =\int y^{-2} \ dy-4\int y^{-3}\ln y \ dy\]
Найдем второй интеграл воспользовавшись формулой интегрирования по частям:
\[\int y^{-3}\ln y \ dy=-\frac{1}{2}\int \ln y \ d(y^{-2})= \]
\[ =-\frac{y^{-2}\ln y}{2}+\frac{1}{2}\int y^{-3} \ dy=-\frac{y^{-2}\ln y}{2}-\frac{y^{-2}}{4}+C_1\]
Получаем:
\[C=-y^{-1}+2y^{-2}\ln y+y^{-2}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[x=C y^2=(-y^{-1}+2y^{-2}\ln y+y^{-2}+C_1)y^2=C_1y^2-y+2\ln y+1\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x=C_1y^2-y+2\ln y+1\]