Решить уравнение \(y'=\dfrac{y}{3x-y^2}\).
Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной \(y\), но оно линейно относительно \(x\). Преобразуем уравнение, считая \(x\) функцией от \(y\).
Учитывая что \(\dfrac{1}{y_x'}=x_y'\), получаем:
\[x'-\frac{3x}{y}=-y\]
При преобразовании уравнения могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[x'-\frac{3x}{y}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dx}{x}=3\frac{dy}{y}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dx}{x}=3\int \frac{dy}{y}\]
\[\ln |x|=3\ln|y|+\ln C\]
\[x=Cy^3\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(x=C y^3\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(y\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(x'=C' y^3+3Cy^2\), то:
\[C' y^3+3Cy^2-\frac{3C y^3}{y}=-y\]
\[C' y^3=-y\]
\[C' =-y^{-2}\]
\[C =-\int y^{-2} \ dy=\frac{1}{y}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[x=C y^3=\left(\frac{1}{y}+C_1\right) y^3=C_1y^3+y^2\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x=C_1y^3+y^2; \ y=0.\]