Решить уравнение \((x+1)(y'+y^2)=-y\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[y'+\frac{y}{x+1}=-y^2\]
Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=2\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(y^n\) и сделать замену \(1/y^{n-1}=z\).
Разделим уравнение на \(y^2\):
\[\frac{y'}{y^2} +\frac{1}{y(x+1)}=-1\]
При делении могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Произведем замену \(z=1/y\):
Так как \(z'=-\dfrac{1}{y^2}y'\), то:
\[y'=-z'y^2\]
Получаем:
\[-z'+\frac{z}{x+1}=-1\]
\[z'-\frac{z}{x+1}=1\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'-\frac{z}{x+1}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=\frac{dx}{x+1}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z}=\int \frac{dx}{x+1}\]
\[\ln|z|=\ln|x+1|+\ln C\]
\[z=C(x+1)\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=C(x+1)\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'(x+1)+C\), то:
\[C'(x+1)+C-\frac{C(x+1)}{x+1}=1\]
\[C'=\frac{1}{x+1}\]
\[C=\ln|x+1|+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=C(x+1)=\left(\ln|x+1|+C_1\right)(x+1)\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=1/y\):
\[\frac{1}{y}=\left(\ln|x+1|+C_1\right)(x+1)\]
\[y=\frac{1}{\left(\ln|x+1|+C_1\right)(x+1)}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=\frac{1}{\left(\ln|x+1|+C_1\right)(x+1)}; \ y=0.\]