Показать, что уравнение \(\frac{dx}{dt}+ x=f(t)\), где \(|f(t)|\leqslant M\) при \(-\infty \lt t \lt +\infty\), имеет одно решение, ограниченное при \(-\infty \lt t \lt +\infty\). Найти это решение. Показать, что найденное решение периодическое, если функция \(f(t)\) периодическая.
Решение
Исходное уравнение является неоднородным линейным дифференциальным уравнением:
\[x'+ x=f(t)\]
Найдем решение однородного уравнения:
\[x'+ x=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dx}{x}=-dt\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\ln|x|=-t+\ln C\]
\[x=Ce^{-t}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(x=Ce^{-t}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(t\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(x'=C'e^{-t}-Ce^{-t}\), то:
\[C'e^{-t}-Ce^{-t}+Ce^{-t}=f(t)\]
\[C'e^{-t}=f(t)\]
\[C'=e^{t}f(t)\]
\[C=\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[x=Ce^{-t}=\left(\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt+C_1\right)e^{-t}=C_1e^{-t}+e^{-t}\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt\]
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
\[x(t)=C_1e^{-t}+e^{-t}\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt\]
Так как \(|f(t)|\leqslant M\) при \(-\infty \lt t \lt +\infty\), то:
\[\left|\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt\right|\leqslant M e^t.\]
Получаем, несобственный интеграл \(\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt\) сходится.
В то же время:
\[e^{-t}\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt\leqslant M .\]
Таким образом, решение будет ограниченным только при \(C_1=0\) и будет иметь вид:
\[x(t)=e^{-t}\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t)dt\]
Рассмотрим случай, когда функция \(f\) периодическая: \(f(t+T)=f(t)\), где \(T\gt 0\). Тогда получаем:
\[x(t)=e^{-t}\int \limits_{-\infty }^t e^{t}f(t+T)dt\]
Введем в интеграле замену \(u=t+T\) и получим:
\[x(t)=e^{-t}\int \limits_{-\infty }^{t+T} e^{u-T}f(u)du=e^{-(t+T)}\int \limits_{-\infty }^{t+T} e^{u}f(u)du=x(t+T)\]
Следовательно, \(x(t)\) тоже периодическая функция.