Решить уравнение \(xy \ dy=(y^2+x) \ dx\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=\frac{1}{y}\]
\[y'-\frac{y}{x}=\frac{1}{y}\]
При преобразовании уравнения могло быть потеряно решение \(x=0\). Очевидно, \(x=0\) является решением.
Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=-1\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(y^n\) и сделать замену \(1/y^{n-1}=z\).
Разделим уравнение на \(y^{-1}\):
\[y'y-\frac{y^2}{x}=1\]
Произведем замену \(z=1/y^{-2}=y^2\):
Так как \(z'=2yy'\), то:
\[y'=\frac{1}{2y}z'\]
Получаем:
\[\frac{1}{2}z'-\frac{z}{x}=1\]
\[z'-2\frac{z}{x}=2\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'-2\frac{z}{x}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=2\frac{dx}{x}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z}=2\int \frac{dx}{x}\]
\[\ln |z|=2\ln |x|+\ln C\]
\[z=Cx^2\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=Cx^2\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'x^2+2Cx\), то:
\[C'x^2+2Cx-2\frac{Cx^2}{x}=2\]
\[C'x^2=2\]
\[C'=\frac{2}{x^2}\]
\[C=\int \frac{2}{x^2} dx=-\frac{2}{x}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=Cx^2=\left(-\frac{2}{x}+C_1\right) x^2=C_1x^2-2x\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=y^2\):
\[y^2=C_1x^2-2x\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y^2=C_1x^2-2x; \ x=0.\]